Himpunan 2
Apabila kalian sudah mempelajari konsep dasar himpunan pertama ini, silakan baca materi di bawah. Pelajarilah dengan sungguh-sungguh karena mayoritas latihan soal himpunan menggunakan konsep materi ini.
Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B, bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota B. Namun, setiap anggota himpunan B belum tentu anggota himpunan A.
Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, notasinya A ⊄ B
Himpunan bagian disebut subset
Sifat yang berlaku dalam himpunan yaitu
- Himpunan kosong merupakan bagian dari setiap himpunan. Bila A merupakan suatu himpunan, maka ∅ ⊂ A
- Setiap himpunan juga merupakan himpunan bagian itu sendiri. Bila B merupakan suatu himpunan, maka B ⊂ B
Apabila n(A) merupakan banyaknya anggota himpunan A, maka
Banyaknya himpunan bagian dari A adalah
Himpunan Saling Lepas dan Himpunan Saling Berpotongan (Tidak Lepas)
Himpunan A dan himpunan B disebut saling lepas jika tidak ada anggota A yang menjadi anggota B, begitu juga sebaliknya. Notasinya, A ⊃⊂ B
C = himpunan bilangan bulat yang kurang dari 0
C = {. . . −4, −3, −2, −1}
D = himpunan bilangan asli
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6,. . .}
Diperoleh, C ⊃⊂ D
Himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan saling berpotongan bila ada anggota A yang juga merupakan anggota B.
E = himpunan bilangan genap
E = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,. . .}
F = himpunan bilangan prima
F = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,. . .}
Salah satu anggota E yaitu 2 juga merupakan anggota F
Himpunan E saling berpotongan dengan himpunan F
Diagram Venn
Diagram Venn adalah suatu diagram gambar yang menyatakan satu atau beberapa himpunan.
Diagmram Venn digambarkan seperti berikut
 |
| Diagram Venn |
Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dengan notasi S dituliskan pada pojok kiri atas
Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta digambarkan dengan kurva tertutup (seperti lingkaran) dan nama himpunan dituliskan di dekat kurva tersebut
Anggota-anggota himpunan berhingga dinyatakan dengan noktah atau titik yang diberi nama anggotanya
Operasi Antar Himpunan
Operasi antar himpunan dibedakan menjadi 2 macam yaitu
- Operasi irisan himpunan
- Operasi gabungan himpunan
1. Operasi Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A sekaligus anggota himpunan B.
Ditulis A ∩ B
Irisan himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan notasi,
A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Pada operasi irisian himpunan, terdapat ketentuan sebagai berikut,
- Bila A = B, maka A ∩ B = A = B
- Bila A ⊂ B, maka A ∩ B = A ataupun sebaliknya, bila B ⊂ A, maka A ∩ B = B
- Bila A dan B merupakan himpunan saling lepas, maka A ∩ B = ∅
2. Operasi Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya berasal dari A atau B, atau berasal dari keduanya.
Ditulis A ∪ B
Gabungan himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan notasu
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Banyak anggota gabungan himpunan A dan B atau n(A ∪ B) adalah:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Pada operasi gabungan himpunan, terdapat ketentuan sebagai berikut,
- Bila A = B, maka A ∪ B = A = B
- Bila A ⊂ B, maka A ∪ B = B, berlaku sebaliknya, bila B ⊂ A, maka A ∪ B = A
Selisih Himpunan
Himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A, tetapi bukan anggota B dinamakan selisih himpunan A dan B
Ditulis A − B
A − B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}
Himpunan yang anggotanya merupakan himpunan B tetapi bukan anggota A, disebut selisih himpunan B dan A
Ditulis B − A
B − A = {x | x ∈ B dan x ∈ A}
Komplemen Himpunan
Komplemen dari himpunan A yang dimuat semesta S adalah himpunan anggota S yang tidak termuat di dalam A.
Ditulis A' atau
A' = = {x | x ∈ S dan x ∈ A}
Sifat-sifat Operasi Himpunan
1. Komutatif
Sifat komutatif pada operasi himpunan berlaku pada operasi irisan dan gabungan
A ∩ B = B ∪ A
A ∪ A = B ∪ A
2. Assosiatif
Sifat assosiatif pada operasi himpunan berlaku pada operasi irisan dan gabungan
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
3. Distributif
Sifat distributif pada operasi himpunan berlaku pada operasi irisan dan gabungan
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
